Обращение матриц — функции inv, pinv
Обращение матриц — одна из наиболее распространенных операций матричного анализа.
Обратной
называют матрицу, получаемую в результате деления единичной матрицы Е на исходную матрицу X. Таким образом, Х^-1=Е/Х. Следующие функции обеспечивают реализацию данной операции:
inv(X) — возвращает матрицу, обратную квадратной матрице X. Предупреждающее сообщение выдается, если X плохо масштабирована или близка к вырожденной.
Пример:
» inv(rand(4,4))
ans =
2.2631 -2.3495-0.4696-0.6631
-0.76201.2122 1.7041 -1.2146
-2.04081.4228 1.5538 1.3730
1.3075 -0.0183-2.54830.6344
На практике вычисление явной обратной матрицы не так уж необходимо. Чаще операцию обращения применяют при решении системы линейных уравнений вида Ах=b. Один из путей решения этой системы — вычисление x=inv(A)*b. Но лучшим с точки зрения минимизации времени расчета и повышения точности вычислений является использование оператора матричного деления х=А\b. Эта операция использует метод исключения Гаусса без явного формирования обратной матрицы.
В = pinv(A) — возвращает матрицу, псевдообратную матрице А (псевдообращение матрицы по Муру-Пенроузу). Результатом псевдообращения матрицы по Муру-Пенроузу является матрица В того же размера, что и А', и удовлетворяющая условиям А*В*А=А и В*А*В=В. Вычисление основано на использовании функции svd(A) и приравнивании к нулю всех сингулярных чисел, меньших величины tol;
В = pinv (A. tol) — возвращает псевдообратную матрицу и отменяет заданный по умолчанию порог, равный max(size(A))*norm(A)*eps.
Пример:
» pinv(rand(4,3))
ans =
-1.3907-0.0485-0.24931.8640
-0.87751.1636 0.6605 -0.0034
2.0906 -0.5921-0.2749-0.5987
