Интегральные преобразования

Интегральные преобразования и, в первую очередь, преобразование Фурье находят самое широкое практическое применение.

Интегральное преобразование Фурье в Maple выполняется с помощью процедур fourier(), fouriercos() и fouriersin() — соответственно, для комплексного преобразования Фурье, косинус-преобразования и синус-преобразования Фурье. В качестве параметров процедур указываются преобразуемое выражение, переменная, по которой выполняется преобразование, а также переменная для функции-образа. Процедуры доступны при подключении пакета inttrans.

Для выполнения обратного преобразования. Фурье используется процедура invfourier(). Способы вызова перечисленных процедур продемонстрированы в примерах.

Задача 4.7

Найти Фурье-образ функции

Сразу подключаем нужный пакет.

Кроме того, для ясности предположим, что параметр а положителен.

Преобразуемая функция, согласно условию задачи, равна следующему.

Фурье-образ этой функции также определяем как функцию.

Находим функцию-образ.

Чтобы упростить полученное выражение (оно содержит функцию Хеви-
сайда — Heavisidef), которая равна 1 при положительном аргументе и 0 в
противном случае), сообщим вычислительному ядру Maple, что аргумеш
функции-образа является положительным.

Очень часто функции при преобразовании Фурье приходится продолжать четным или нечетным образом.

Задача 4.8

функцию f(x) = ехр(-х) (x > 0) представить интегралом Фурье, продолжая ее а) четным и б) нечетным образом.

После подключения пакета описываем базовую преобразовываемую функцию.

При четном продолжении функции ее Фурье-образ будет совпадать (с точностью до множителя с косинус-преобразованием.

Соответственно, при нечетном продолжении используется синус-преобразование.

К полученным выражениям можно применить процедуру обратного преобразования invfourier(). Синтаксис ее вызова такой же, как и у процедуры прямого преобразования: сначала указывается преобразуемое выражение, затем переменная, относительно которой выполняется преобразование, и, наконец, переменная для функции.

---