Численное дифференцирование

Очень часто приходится сталкиваться с ситуацией, когда при численном решении той или иной задачи необходимо вычислить производную или решить дифференциальное уравнение — в численном виде, разумеется. В этих случаях используется все та же процедура dsolvef), что уже встречалась ранее при решении дифференциальных уравнений в аналитическом виде. Однако для нахождения численного решения (или производной в численном виде) при вызове процедуры следует указать опцию numeric. Во всем остальном синтаксис вызова процедуры практически такой же, как и при поиске аналитических решений, но некоторые отличия все же имеются.

Процедура может использоваться, как уже отмечалось, для вычисления производных, а также решения задач Коши и краевых задач. По умолчанию при решении задач Коши применяется метод Рунге-Кутта-Фэлберга (Runge-Kutta-Fehlbeig) порядка четыре-пять, а при решении краевых задач — экстраполяция Ричардсона (Richardson). Метод может быть изменен явным указанием значения опции method. Возможные значения опции и их описание приведены в табл. 7.4.

Таблица 7.4. Значения опции method

Значение опции	Описание
bvp	Используется при решении краевых задач. Тип задачи (то ли это задача Коши, то ли краевая задача) вычислительным ядром Maple определяется автоматически Поэтому значение для опции указывается в таком формате: method=bvp[метод] В качестве iaoiaa могут указываться значения: trapdef er (метод трапеций), middef ег (метод средней точки), traprich (усовершенствованная схема для метода трапеций) или midrich (усовершенствованная схема для метода средней точки). По умолчанию используется метод traprich
classical	Классический метод построения численного решения. Допускается два типа определения значения: method=classical или method-classical [метод]. Здесь метод может быть таким: f oreuler (прямой метод Эйлера; используется по умолчанию), heun-f orm (усовершенствованный метод Эйлера, или правило трапеций), impoly (модифицированный метод Эйлера), rk2 (классический метод Рунге-Кутта второго порядка), гкЗ (классический метод Рунге-Кутта третьего порядка), rk4 (классический метод Рун-ге-Кута четвертого порядка), adambash (метод Адамса-Бэшфорда (Adams-Bashford), или метод предиктора) или abmoulton (метод Адамса-Бэшфорда-Молтона (Adams-Bashford-Moulton), или метод предиктора-корректора)
dverk78	Метод Рунге-Кутта порядка семь-восемь
gear	Метод простой экстраполяции. Метод можно конкретизировать, указав method=gear[bstoer] или method=gear[polyextr]. В первом случае используется рациональная экстраполяция, во втором — полиномиальная
lsode	Опция активизации утилиты решения жестких дифференциальных задач. Допускается восемь встроенных методов, среди которых вызываемый по умолчанию метод Адамса с использованием функциональных итераций без вычисления функционального определителя (adamsf unc), метод Адамса с использованием итераций и вычислением полного функционального определителя (adamsf ull), метод Адамса с использованием итераций и вычислением диагонального функционального определителя (adamsdiag), метод Адамса с вычислением ленточного функционального определителя (adamsband), метод обратного дифференцирования с использованием функциональных итераций (backf unc), метод обратного дифференцирования с использованием итераций и вычислением полного функционального определителя (backf ull), метод обратного дифференцирования с использованием итераций и вычислением диагонального функционального определителя (backdiag) и метод обратного дифференцирования с использованием итераций и вычислением ленточного функционального определителя (backhand). При использовании методов adamsband и backhand необходимо также задавать параметры функциональной матрицы
rkf45	Метод Рунге-Кутта-Фэлберга порядка четыре-пять
rosenbrock	Метод Рунге-Кутта-Розенброка (Rosenbrock) порядка три-четыре
taylorseries	Решение ищется в виде разложения в ряд Тейлора

Кроме опции method, могут быть задействованы и другие опции. Они приведены в табл. 7.5.

Таблица 7.5. Некоторые опции процедуры dsolve()

Опция	Тип значения	Описание
abserr	Число	Опцией устанавливается допустимая погрешность. Опция может использоваться со всеми методами, кроме classical. Кроме того, в методе rkf-45 допустимая погрешность фиксирована и определяется в основном значением переменной среды Digits
output	Ключевое слово или массив	Значением может быть одно из ключевых слов — procedurelist (значение по умолчанию), listprocedure или piecewise (добавлено в Maple 9) или список значений переменной, для которых следует вычислить значение выражения. При значении опции, равном procedurelist, независимая переменная является аргументом процедуры, а результат выводится в виде списка, в котором указываются через знак равенства: независимая переменная и ее значение, зависимая переменная и ее значение, производные от зависимой переменной по независимой и их значения. Если значение опции установить равным listprocedure, то результат для перечисленных выше параметров будет выводиться не через указание их значений, а через указание процедур, которые могут быть использованы для вычисления значений. Ключевое слово piecewise используется только при работе с методами rkf 45 и rosenbrock и позволяет выводить результат в виде кусочно-непрерывной зависимости
range	Диапазон с численными границами	Опцией задается диапазон изменения независимой переменной
relerr	Число	Предел для относительной погрешности. Опция не может использоваться при выполнении расчетов методами classical, taylorseries и bvp
stiff	Логический тип	Если установить значение опции равным true, то вместо используемого по умолчанию нежесткого метода rkf 45 будет вызван метод rosenbrock. Если при этом также явно задан используемый метод, то выполняется проверка на предмет его соответствия значению опции stiff
stop cond"	Список	Значением функции задается список условий приостановки процесса вычислений. Опция может использоваться для вызываемых по умолчанию нежесткого метода rkf 45 и жесткого метода rosenbrock

Кроме перечисленных выше опций, общих для процедуры dsolve(), при работе с каждым конкретным методом можно использовать специфичные именно для этого метода опции. Подробнее о них читатель может узнать, обратившись к справочной системе.

Ниже показано, как следует вызывать процедуру dsolve() для численного решения дифференциальных уравнений.

В качестве первого примера рассмотрим уравнение первого порядка.

Содержание Назад Вперед