Математический анализ в Maple 9
Можно видеть, что все три
Можно видеть, что все три графика (сплайны третьей и четвертой степени, а также интерполяционный полином четвертой степени) практически совпадают, особенно в левой части рисунка. Правда, интерполяционный полином является более гладкой функцией по сравнению с первыми двумя. При этрм у читателя может возникнуть вопрос: почему интерполяционный полином, степень которого равна четырем, не совпадает со сплайн-функцией, построенной на основе полиномов четвертой степени? Ответ следует искать в тех условиях, из которых определяется сплайн-функция. Так, при выполнении сплайн-интерполяции полиномами степени m по п+1 точкам задействовано п сплайн-полиномов. В каждом из этих полиномов следует определить по т+1 коэффициенту, и всего получаем, таким образом, n (m+1) неизвестных коэффициентов. Равенство интерполяционной функции в узловых точках табличным значениям задает п+1 условий на неизвестные коэффициенты. Кроме того, на внутренних узлах (их всего п-1) предполагается непрерывность производных до порядка т-1 включительно, что дает, вместе с непрерывностью самой функции, (n-l+(m-l)(n-l))=m(n-l) условий. Таким образом, на n(m+l) неизвестных коэффициентов накладывается (m(n-l)+(n+l))=(n(m+l)-(m-l)) условий. Этого, разумеется, мало — необходимо еще т-1 условий. Их, как правило, получают, требуя равенства нулю соответствующего числа старших непрерывных производных на границах области интерполирования. Это так называемый естественный выбор дополнительных условий. В принципе, с математической точки зрения, их можно выбирать произвольным образом — в зависимости от решаемой задачи. В частности, условия эти можно подбирать так, чтобы при интерполяции сплайнами степени п в результате получался интерполяционный полином Лагранжа.
Содержание Назад Вперед
