Математический анализ в Maple 9




Глава 3. Числовые и функциональные ряды


    Глава 3. Числовые и функциональные ряды
    Глава 3. Числовые и функциональные ряды Суммирование числовых рядов Исследование рядов на сходимость Разложение функций в ряды Тейлора и Лорана Разложение функций в ряд Фурье Специальные функции З...
    Суммирование числовых рядов
    В Maple для суммирования большого (хотя и не обязательно) числа слагаемых предназначена процедура sum(), имеющая два параметра, которые при вызове процедуры разделяются запятой. Посредством первог...
    Решение задачи
    Если Maple не сможет получить аналитическую формулу, результат выполнения операции будет отображен в символьном виде, соответствующем исходной формуле....
    Примечание
    Если mn+1, то sum(a,k=m. .n)=-sum(a,k=n+1. .m-1). При m=n+1 автоматически получаем sum (а)с=m. .n)=0. Поэтому следует помнить, что первой лучше указывать нижнюю границу диапазона изменения индекса...
    Совет
    В качестве независимой переменной для полинома z можно использовать и другой символ не обязательно х. Поскольку важны только корни полинома, а это в любом числа, не имеет значения, как обозначать н...
    Решение задачи
    А можно просто указать значение для индекса суммирования....
    Решение задачи
    Во втором параметре вместо выражения типа RootOf () допускается в принципе любое выражение (главное, чтобы оно не зависело от переменной суммирования — в данном случае к). Результат выполнения про...
    Примечание
    При вызове процедуры sum() настоятельно рекомендуется заключать параметры процедуры в одинарные кавычки. Другими словами, вместо sum(a,k) рекомендуется использовал синтаксис sum( 'а', 'к'). Это же...
    Решение задачи
    Теперь с помощью процедуры seq() создаем последовательность квадрате тех же натуральных чисел (последовательность заключена в квадратные скоС ки, поэтому формально это список, однако квадратные ск...
    Решение задачи
    Сумма членов созданной выше последовательности должна быть равна, как несложно догадаться, сумме квадратов натуральных чисел от 1 до 10....
    Решение задачи
    Итак, в первой командной строке с использованием процедуры add() непосредственно вычисляется сумма квадратов, в то время как в третьей командной строке берется сумма по множеству значений переменн...
    Примечание
    Между процедурами sum() и add(), несмотря на их кажущуюся схожесть, есть принципиальная разница. При вызове процедуры sum() суммирование производится в символьной форме. Другими словами, Maple в эт...
    На заметку
    Следует напомнить, что выполнить неактивные процедуры можно с помощью процедуры value (), указав неактивную процедуру в качестве ее параметра....
    Задача 3.1
    Найти сумму ряда...
    Решение задачи
    Замечательно то, что Maple вычисляет и достаточно сложные "символьные" суммы, как в следующем примере....
    Задача 3.2
    Найти сумму ряда...
    Решение задачи
    Однако при работе с рядами Maple может использоваться не только для вычисления сумм....
    Исследование рядов на сходимость
    Существенным является класс задач, в которых предусматривается исследо вание рядов на предмет сходимости. В этом случае нет необходимости сумми ровать ряд — нужно только сделать вывод, сходится ря...
    Задача 3.3
    Исследовать на сходимость ряд Задаем общую зависимость члена ряда от индекса суммирования....
    Решение задачи
    Проверяем необходимое условие сходимости ряда....
    Решение задачи
    Необходимое условие выполнено, поэтому далее вступают в силу более существенные критерии — в данном случае признак Даламбера....
    Решение задачи
    Проверяем, меньше ли это значение, чем 1....
    Решение задачи
    Таким образом, по признаку Даламбера ряд сходится. В следующих примерах для исследования рядов на сходимость предлагается специальная процедура....
    Задача 3.4
    Исследовать на сходимость ряды: Сразу определяем процедуру, которая будет "тестировать" ряды. В процедуре сначала проверяется необходимое условие сходимости ряда. Если условие не выполняется, выво...
    Решение задачи
    Аргументом процедуры является общий член ряда (это оператор, т.е. а(n) является функцией п). В теле процедуры используется две локальные переменные: п — для "технических" нужд и Res — для записи р...
    Примечание
    Приведенная выше процедура определена без учета многих исключительных ситуаций. Например, если Maple не сможет вычислить предел (для этого, правда, выражение должно быть исключительно запутанным),...
    Решение задачи
    Еще один способ вызова процедуры состоит в предварительном описании общего члена ряда в виде оператора действия на индекс суммирования....
    Решение задачи
    Ряд сходится по признаку Коши Рассмотрим еще один пример....
    Решение задачи
    В следующей задаче используются признаки Даламбера и Раабе....
    Задача 3.5
    Исследовать на сходимость ряд Описываем общий член ряда как функцию индекса суммирования....
    Решение задачи
    Составляем отношение двух последовательных членов....
    Решение задачи
    После этого упрощаем его....
    Решение задачи
    Далее вычисляем предел....
    Решение задачи
    Поскольку предел равен 1, признак Даламбера не позволяет сделать вывод о сходимости ряда. Поэтому на следующем шаге воспользуемся признаком Раабе....
    Решение задачи
    Полученное число свидетельствует о том, что ряд расходится....
    Разложение функций в ряды Тейлора и Лорана
    Разложение функции в ряд Тейлора, или, в более общем случае, Лорана, находит самое широкое применение как при решении задач высшей математики, так и в прикладных областях. В Maple на этот случай п...
    На заметку
    На этом набор утилит Maple для выполнения разложений в ряды далеко не исчерпывается; их изучение оставляем читателю в качестве самостоятельного задания....
    Задача 3.6
    Разложить в ряд Тейлора до члена с х функцию Воспользуемся процедурой taylor(), указав первым параметром раскладываемую в ряд функцию, вторым параметром — равенство, определяющее переменную и точк...
    Решение задачи
    Определим выражение f, задающее исходную функцию....
    Решение задачи
    Основную часть ряда обозначим через fl (переменная среды %% ссылается на результат выполнения предпоследней операции (т.е. на ряд для функции), а опция polynom является инструкцией, что указанное...
    Решение задачи
    Теперь можно сравнить, насколько отличаются исходная функция и ее приближение рядом Тейлора (приближение, поскольку остаток ряда был отброшен)....
    Решение задачи
    Видим, что даже разложения до четвертой степени достаточно, чтобы корректно аппроксимировать функцию в окрестности нуля. Различие заметно только при существенном удалении от точки разложения. В сл...
    Задача 3.7
    Разложить в ряд Тейлора функцию....
    Решение задачи
    При разложении этой функции в ряд Тейлора порядок остатка указывать не будем....
    Решение задачи
    В подобных ситуациях порядок остатка определяется переменной среды Order; по умолчанию значение этой переменной равно 6. Поэтому в предыдущем выражении последним слагаемым должно было бы быть слаг...
    Решение задачи
    Определим процедуру F(x,n), которая будет представлять разложение функции f (х) в ряд в окрестности нуля до слагаемых степени порядка п, преобразуя такое разложение в полином....
    Решение задачи
    Рассмотрим пример вызова этой процедуры (можно сравнить с результатом разложения, полученным выше)....
    Решение задачи
    Теперь построим график исходной функции, ее ряд до степени 5 и ряд до степени 10....
    Решение задачи
    При построении графиков использовалась команда numpoints=150, в которой "частота" базовых точек, по которым строятся графики, увеличивается (по умолчанию — значение 50) в три раза. Если функция за...
    Задача 3.8
    Разложить в ряд Маклорена функцию f(x,y) = (1+x)m(1+y)....
    На заметку
    Рядом Маклорена называется разложение функции в ряд Тейлора в окрестности нуля. Определяем, как обычно, функцию....
    Решение задачи
    Разложение в ряд осуществляется с помощью процедуры mtaylor(). При этом в качестве параметров указываются раскладываемая в ряд функция, список переменных, по которым следует выполнять разложение,...
    Решение задачи
    Если нужен какой-то конкретный коэффициент разложения, используют процедуру coeftayl(), указав параметрами процедуры функцию, переменный и точку разложения (в виде равенства), а также список индек...
    Решение задачи
    Однако, как известно, в ряд Тейлора можно раскладывать только анали тические функции (для которых в данной точке существуют производньк всех порядков). Более общие разложения, по сравнению с рядом...
    Задача 3.9
    Разложить в ряд функцию Как несложно убедиться, функция в точке х=2 имеет особенность. Поэто му использовать процедуру taylor() невозможно. Сначала опишем функцию:...
    Решение задачи
    Правила вызова процедуры series () такие же, как и у процедуры taylor()....
    Решение задачи
    Видим, что функция f (х) в точке х=2 не является аналитической, посколь ку в разложении имеется слагаемое с отрицательным показателем степеш Ряд, который получен выше, фактически является рядом Ло...
    Решение задачи
    Предполагается, что второй параметр VarAndPoint является равенством (например, х-2). Локальной переменной t присваивается в качестве значения левая часть этого равенства (в приведенном примере это...
    Решение задачи
    Если нужно разложить функцию в ряд в окрестности другой точки, например х=0, поступаем следующим образом....
    Решение задачи
    Разложение в окрестности точки х=1 совпадает с разложением в ряд Тейлора для данной функции....
    Решение задачи
    Все эти выражения аппроксимируют исходную функцию, но в разных областях. Проиллюстрировать данный факт можно графически....
    Решение задачи
    Выше при создании фафика значение опции discont установлено равным true. Это сделано для того, чтобы при отображении графиков функций Maple не соединял точки разрыва линиями....
    Разложение функций в ряд Фурье
    При решении задач математической физики очень часто приходится выполнять разложение по системам ортогональных функций. В тех случаях, когда базовыми являются тригонометрические функции, а само раз...
    Задача 3.10
    Разложить в ряд Фурье приведенные далее функции. Определим процедуру с такими параметрами: раскладываемая в ряд функция (f), равенство, определяющее переменную и интервал разложения (VarAndRange),...
    Решение задачи
    В самом начале процедуры выполняется проверка второго параметра на предмет соответствия типов. Тип аргумента возвращается функцией whattype(), и если он не является равенством выводится сообщение...
    Решение задачи
    Ряд Фурье для этой функции на интервале (пять первых слагаемых) имеет следующий вид....
    Решение задачи
    Ниже можно сравнить графики самой функции и полученного для нее ряда Фурье....
    Решение задачи
    Как и следовало ожидать, на интервале разложения ряд достаточно неплохо аппроксимирует функцию. Рассмотрим теперь пример обработки исключительной ситуации (неверно указан второй параметр)....
    Решение задачи
    Часто возникает необходимость определять непосредственно коэффициенты косинус- и синус-разложений. В этой ситуации также можно воспользоваться некоторыми полезными процедурами. Начнем с вычисления...
    Решение задачи
    Принципиально эта процедура отличается от предыдущей тем, что второй параметр является диапазоном (не равенством, как в процедуре FurSer). Соответственно, проверка выполняется для этого типа (диап...
    Решение задачи
    Описанные выше процедуры могут использоваться для определения коэффициентов не только с численными индексами, но и с индексами, указанными в символьном виде (стоит обратить внимание, как указан пе...
    Решение задачи
    Чтобы упростить полученное выражение, ядру Maple нужно сообщить, что m является целым числом. Для этого вводим следующую команду....
    Решение задачи
    Для косинус-коэффициентов имеем, соответственно, такой результат....
    Решение задачи
    Это и неудивительно — дело в том, что функция нечетная, продолжается (периодически) нечетным образом, поэтому коэффициенты разложения при четных функциях (т.е. косинусах) равны нулю. Ниже показано...
    Решение задачи
    Наконец, определим процедуру, записывающую ряд Фурье для данной функции в символьном виде, т.е. через бесконечную сумму....
    Решение задачи
    В отличие от процедуры FurSer, в данном случае нет третьего параметра. В процедуре в символьном виде вычисляются коэффициенты разложения (в предположении, что индекс п является целым числом), а са...
    Специальные функции
    Выше уже упоминалось о системах ортогональных функций. Эти функции используются при решении задач математической физики (линейных дифференциальных уравнений второго порядка) и часто упоминаются в...
    Примечание
    Чтобы работать с ортогональными полиномами, совсем не обязательно подключать пакет orthopoly. В Maple ортогональные полиномы доступны и без подключения пакетов. Однако в этом случае формальная ссыл...
    Решение задачи
    После подключения пакета можно узнать, например, как выглядят первые четыре (начиная с нулевого индекса) полинома....
    Решение задачи
    Кроме того, можем проверить, удовлетворяют ли полиномы Лежандра соответствующему уравнению. Для этого прежде опишем процедуру, посредством которой будет формироваться уравнение....
    Решение задачи
    Теперь заданную выше процедуру вызываем, указав первым параметром символ полинома Лежандра. Второй параметр определяет индекс полинома, третий — его аргумент. В результате получим следующее....
    Решение задачи
    Однако при подстановке вместо конкретного значения для индекса полинома символьного значения (скажем, n) упростить приведенное выше выражение будет проблематично. Поэтому иногда удобно использоват...
    Решение задачи
    На заметку
    Результатом выполнения процедуры sum() в приведенной выше процедуре определения полиномов является выражение, которое требует упрощения. Если точнее, то в этом выражении следует сгруппировать слага...
    Решение задачи
    Как несложно заметить, результаты аналогичны. Проверим, что произойдет, если подставить определенные разными способами полиномы в уравнение, которому они по определению должны удовлетворять. Указа...
    Решение задачи
    Как видим, определяемые системой полиномы при таком вызове не упрощаются. Остается проверить, что будет, если в уравнение подставить полиномы, определенные пользователем....
    Решение задачи
    Выражение, полученное в результате, представлено через гипергеометрические функции и более чем громоздко. Однако оно легко поддается упрощению....
    Решение задачи
    На заметку
    Если вызвать команду Р() с четырьмя параметрами, то в этом случае команда определяет полиномы Якоби. Например, командой P(n,a,b,x) вызывается полином Якоби порядка п от х с аргументами а и b (оба п...
    Решение задачи
    Обобщенные полиномы Лагерра могут быть получены, если указать дополнительный (имеющий второй порядковый номер) параметр. При этом аргумент указывается третьим параметром....
    Решение задачи
    Формула для полиномов Эрмита имеет вид...
    Решение задачи
    Ниже приведены примеры полиномов Чебышева....
    Решение задачи
    Пожалуй, самое важное свойство описанных выше полиномов состоит в том, что они, как отмечалось, образуют ортогональные системы. Это свойство используется при разложении функций в ряд по ортогональ...
    Решение задачи
    Среди этих процедур есть и Create(), которую используем для создания ряда....
    Решение задачи
    Оставим первые шесть слагаемых в ряде, для чего воспользуемся процедурой Truncate(). Первым параметром процедуры указывается ряд, вторым — индекс, на котором следует оборвать ряд. Таким образом, п...
    Решение задачи
    Чтобы вычислить сумму, используем процедуру Evaluate(), указав в качестве параметра переменную среды %....
    Решение задачи
    По такому принципу можно вычислять и другие (конечные!) суммы. Далее в качестве примера рассмотрим тригонометрическую функцию....
    Решение задачи
    Создаем формальный ряд по полиномам Лежандра....
    Решение задачи
    Коэффициенты разложения ряда являются функциями от индекса, и их следует определить в соответствии с раскладываемой в ряд функцией. В частности, имеем следующее....
    Решение задачи
    Например, коэффициент с индексом 2 равен следующему....
    Решение задачи
    В данном случае ряд для функции, определяемой выражением F, будет записан в следующем виде....
    Решение задачи
    Как видим, коэффициенты ряда представлены интегралами. Однако если вызвать отдельный коэффициент с помощью процедуры Coefficients!), указав первым параметром ряд, а вторым — индекс коэффициента (в...
    Решение задачи
    Сравним точное выражение для функции с приближенным выражением, определяемым первыми пятью слагаемыми ряда....
    Решение задачи
    Для большей наглядности собираем слагаемые при соответствующих степенях переменной. Сравним оба выражения, построив для них графики....
    Решение задачи
    Как легко заметить, совпадение более чем приемлемое. Иногда необходимо в полиномиальном выражении изменить базис, т.е. записать выражение в разложении по иной системе ортогональных полиномов. Напр...
    Решение задачи
    Еще одна важная проблема связана с почленным дифференцированием ряда. На этот случай в пакете Orthogonal Series имеется процедура Derivate(). Ниже будет показано, как дифференцировать ряд по ортог...
    Решение задачи
    На заметку
    Принципиальной разницы между использованием команд Rl:=S и Rl:=Copy(S) нет. Результаты выполнения обеих операций идентичны. Процедура Сору() введена разработчиками Maple в расчете на перспективу. Е...
    Решение задачи
    Иногда необходимо применить к ряду линейный дифференциальный оператор. В таких ситуациях полезна процедура ApplyOperator(). Рассмотрим пример ее использования. Для этого создадим новый ряд по поли...
    Решение задачи
    После этого к ряду R2 применяем оператор:...
    Решение задачи
    В полученном в результате выражении следует упростить коэффициенты разложения. Для этого вызываем процедуру SimplifyCoefficients(), указав первым параметром ряд, в котором следует упрощать коэффиц...
    Решение задачи
    В пакете OrthogonalSeries также предусмотрены специальные команды для сложения рядов и их умножения (на скаляры, полиномы или конечные ряды). В частности, предположим, что ряд R2 следует умножить...
    Решение задачи
    После упрощения коэффициентов получаем следующее....
    Решение задачи
    Ту же операцию можно выполнить несколько иначе. Так, используя команды пакета orthopoly, получаем выражения для нулевого и второго полиномов Эрмита....
    Решение задачи
    Видим, что полином 1 + 4х2 =3 + (4х2 -2) может быть "сконструирован" из полиномов Эрмита нулевого и второго порядков. Сделаем это с помощью уже знакомой процедуры Create(), указав первым параметро...
    Решение задачи
    После этого с помощью процедуры Multiply!) вычисляем произведение двух рядов (первый ряд должен быть конечным, т.е. с помощью этой процедуры два бесконечных ряда перемножить не удастся)....
    Решение задачи
    После упрощения коэффициентов убеждаемся в том, что результат такого умножения совпадает с уже полученным ранее....
    Решение задачи
    Внимание! В Maple 9 результат выполнения приведенных выше команд может иметь несколько иной вид. Такое различие чисто внешнее (т.е. это те же выражения, но по-другому записаны) и связано с тем, чт...
    Примечание
    Для работы с цилиндрическими функциями никаких специальных пакетов подключать не нужно. Что можно делать с функциями Бесселя, рассмотрим на примере функции первого рода Jy(x). Например, сумма функц...
    Решение задачи
    Подобные соотношения называются рекуррентными и часто используются при решении задач. Ниже приведен результат дифференцирования функции Jv(x) ....
    Решение задачи
    Кроме того, через функции Бесселя выражаются и некоторые весьма распространенные интегралы....
    Решение задачи
    На заметку С помощью процедуры int(f (x) ,x=a. .b) вычисляется интеграл от функции f (х) по переменной х на интервале от а до b, а запись lnt() — это неактивная форма данной процедуры. Подробнее о...
    Решение задачи
    Для функции второго рода справедливо такое соотношение....
    Решение задачи
    На заметку
    Функции Бесселя первого и второго рода образуют полную ортогональную систему функций. Это значит, что такие функции могут использоваться для построения разложений прочих функций (при некоторых допо...
    Заключительные замечания
    Описанные в этой главе методы разложения функций в ряды Тейлора, Фурье и основы работы со специальными функциями имеют непосредственное отнршение к решению дифференциальных уравнений — как обыкнов...
    Контрольные вопросы
    1. Какие из приведенных команд корректны? a) sum(i2,i=1..100); 6) M(i*2,i*1..100)} в) sum(i,i=l..N); r) add(i,i=l..N); 2. Каким будет результат выполнения команды onvert(taylor(f(х),х=0,5),polynom...








Начало