Математический анализ в Maple 9




Глава 6. Задачи физики


    Глава 6. Задачи физики
    Задачи динамики Системы с колебаниями Заключительные замечания Контрольные вопросы...
    Задачи динамики
    При решении задач динамики, как правило, приходится интегрировать уравнения движения материальной точки или системы тел. Эти уравнения являются дифференциальными уравнениями второго порядка, и для...
    Задача 6.1
    Частица, имеющая массу m и заряд е, влетает в однородное стационарное электрическое поле Е со скоростью v, перпендикулярной направлению поля. Определить траекторию движения частицы. Для решения эт...
    Решение задачи
    Вдоль остальных двух осей силы не действуют (силы фавитации не учитываем)....
    Решение задачи
    Чтобы однозначно решить систему из приведенных выше трех уравнений, Цйеобходимо задать начальные условия. Поскольку уравнения имеют второй эрядок (порядок старшей производной), по каждой из коорди...
    Решение задачи
    В следующих двух переменных объединяем (в виде последовательности) уравнения (Eq_All) и начальные условия (InCon_All)....
    Решение задачи
    Для решения полученной системы с описанными выше начальными условиями используем процедуру dsolve(), а результат ее выполнения присваиваем в качестве значения переменной Res....
    Решение задачи
    Сразу видим, что, поскольку z(t)=O, движение происходит в плоскости XY — в плоскости, где размещены векторы поля и начальной скорости. Для дальнейшего анализа полезно записать временную зависимост...
    Решение задачи
    Исходя из этих зависимостей строим траекторию частицы. Для определенности будем исследовать движение частицы в течение первых 10 секунд. Но прежде чем строить траекторию, определим координаты част...
    Решение задачи
    Дальше с помощью оператора цикла вычисляем координаты (х- и у-координату) через одну, две и так далее, до десятой секунды. Значения координат записываются в виде списка, и этот список добавляется...
    Решение задачи
    Можно просмотреть, как же в конечном счете выглядит список координат (при выполнении предыдущего оператора в области вывода ничего не отображается, поскольку соответствующая команда заканчивается...
    Решение задачи
    Теперь можно построить траекторию движения частицы. Квадратами на этой траектории будем отмечать положения частицы через каждую секунду. Шри этом первым параметром процедуры plot() указываем списо...
    Решение задачи
    Однако графического отображения траектории мало — нужно определить уравнение этой траектории. Для этого из одной функциональной зависимости следует выразить время через координату и подставить пол...
    Решение задачи
    Таким образом, частица, попав в область действия поля, движется по параболе в плоскости, определяемой векторами поля и начальной скорости. Уравнение параболы представлено выше....
    Задача 6.2
    В некоторой области пространства одновременно имеются однородные и стационарные электрическое и магнитное поля, угол между которыми а. Частица с массой m и зарядом е, имеющая начальную скорость v,...
    Решение задачи
    Данная процедура имеет два параметра — вектор (размерности 3), который и необходимо дифференцировать, и переменную, по которой следует вычислять производную. Процедура возвращает в качестве резуль...
    Решение задачи
    Далее следует выбрать систему координат. Начало этой системы разместим в точке, где частица попадает в область действия полей, а сам момент вхождения частицы в данную область выберем за начало отс...
    Решение задачи
    Поскольку в условии ничего конкретно о направлении вектора начальной векорости не сказано, рассматриваем наиболее общий случай, когда все три проекции вектора начальной скорости отличны от нуля....
    Решение задачи
    Для определения координат частицы введем вектор г, который опишем следующим образом....
    Решение задачи
    Другими словами, г является вектор-функцией, зависящей от времени. Прежде чем искать непосредственно зависимость координат от времени, опишем начальные условия. В силу выбора системы координат, на...
    Решение задачи
    Первым параметром процедуры seq() указано уравнение r(0)[i]=0. В его левой части содержится индексная переменная i, которая последовательно изменяется от 1 до 3 и определяет номер компонента функц...
    Решение задачи
    Оператор D(s)(0) задает, в зависимости от принимаемого переменной s значения, первую производную от соответствующей координаты в начальный момент времени. Правая часть формируемого уравнения имеет...
    Решение задачи
    Уравнение присваивается в качестве значения переменной VecEq. Левая часть уравнения представляет собой произведение массы на вторую производную от радиус-вектора (вектора координат), т.е. ускорени...
    Решение задачи
    В правой части уравнения записан вектор действующей на частицу силы. Этот вектор равен сумме (умноженной на заряд) двух векторов: вектора электрического поля и вектора, являющегося векторным произ...
    Решение задачи
    Поступить, кроме прочего, можно следующим образом. На Данном этапе значением переменной среды % является множество, элементами которого есть равенства, определяющие эволюцию частицы вдоль каждой о...
    Решение задачи
    Примечание
    To, что уравнение для x(t) является именно третьим элементом множества решений, — факт достаточно случайный. От сеанса к сеансу это уравнение может оказаться и первым, и вторым элементом. Поэтому п...
    Решение задачи
    В принципе, задача решена. Однако интересно представить себе, как такая траектория может выглядеть. Поэтому рассмотрим конкретную ситуацию. В качестве частицы рассмотрим позитрон (то же, что элект...
    Решение задачи
    После этого можно строить траекторию частицы. Исследовать будем движение позитрона в течение 0.05 секунды (для позитрона и этого много). Поскольку строить предстоит параметрически заданную кривую...
    Примечание
    В качестве отображаемых параметрических зависимостей указываются не сами уравнения (Rx.Ry.Rz), а их правые части (rhs(Rx),rhs(Ry),rhs(Rz))....
    На заметку
    Ориентацию и тип координатных осей можно и не задавать, а просто выбрать их с помощью соответствующей кнопки контекстной панели фафики или раскрывающегося меню. Однако это придется делать каждый ра...
    Решение задачи
    Задача 6.3
    Груз массы М падает без начальной скорости с высоты Н на спиральную пружину. Под действием упавшего груза пружина сжимается на величину а. Вычислить время сжатия пружины (массой пружины и силами т...
    Решение задачи
    Однако для того, чтобы решить присвоенное в качестве значения переменной Eq уравнение, необходимо задать силу F(x), которая существенно зависит от того, долетел шарик до пружины или нет. Поскольку...
    Решение задачи
    Последнее выражение определяет действующую на шарик силу как функ-Щию координаты. Далее, чтобы решить дифференциальное уравнение, необходимо определить еще одно начальное условие для скорости, т.е...
    Решение задачи
    Для решения уравнения используем процедуру solve(), указав, что решать уравнение следует относительно переменной v....
    Решение задачи
    В результате получаем два решения, которые отличаются только знаком. Выражение со знаком "минус" соответствует движению вниз (в направлении, Противоположном направлению координатной оси), а другое...
    Решение задачи
    После этого можно решать дифференциальное уравнение Eq. Если добавить к этому уравнению начальные условия, решение будет определено однозначно (уравнение с начальными условиями — это, как известно...
    Решение задачи
    На заметку
    Поскольку начальное значение для скорости — это производная в точке t=0, для записи этого условия (производной) используется оператор D- D(x)(0)=v. Правую часть полученного выражения, которая и опр...
    Решение задачи
    Примечание
    Зависимость X справедлива до тех пор, пока шарик находится в контакте с пружиной Как только шарик от пружины отскочит, уравнение движения будет иным. Зависимость скорости шарика от времени определя...
    Решение задачи
    Скорость нам понадобится вот для каких целей. Отсчет времени начинается с момента столкновения шарика с пружиной. Далее пружина сжимается на какую-то граничную величину (в условии задачи это а), п...
    Решение задачи
    Находим момент времени (если точнее, то моменты, но реальный интерес физический смысл имеет только один), в который скорость равна нулю. гшение присваиваем в качестве значения переменной Т....
    Решение задачи
    Здесь переменная _Z1 обозначает любое целое число, поскольку данное сражение описывает общее решение, из которого следует выделить единст-енное. Определяется оно очень просто — это первое положите...
    Решение задачи
    еперь переменная Т определяет тот самый момент — "единственный и неповторимый". Но на этом вычисления не заканчиваются. Следует еще определить коэффициент жесткости к, который также будем искать и...
    Решение задачи
    После этого выражение для времени сжатия пружины примет следующий вид....
    Решение задачи
    Это выражение следует упростить. Чтобы упрощение возымело действие относительно самой переменной Т, а не просто было выведено упрощенное выражение, результат упрощения присвоим переменной Т. Кроме...
    Решение задачи
    Это и есть ответ. Однако на достигнутом останавливаться не будем. Рассмотрим методы, с помощью которых для задач можно создавать иллюстрации (и не только!). Для начала определим процедуру spring()...
    Решение задачи
    Первой командой в процедуре координате нижнего конца пружины присваивается значение, равное длине свободной пружины, но только со знаком минус. Это следствие того, что начало координатной оси совп...
    Примечание
    Выше в качестве отображаемой процедурой plot() структуры указан список точек. Поскольку по умолчанию значение опции style равняется LINE, отображаемые точки будут соединены ломаной линией строго в...
    На заметку
    Чтобы воспользоваться процедурой, например, textplot() из пакета plots, можно постуодним из следующих способов: а) подключить пакет (with(plots)) и затем вызвать рйроцедуру (textplot()); б) ввести...
    На заметку
    Строго говоря, между зависимостями h(t) и vl(t) существует очевидная взаимосвязь: Vl(t)=D(h) (t). Поэтому, если задавать отдельно зависимость скорости шарика от времени, выполняется, казалось бы, н...
    Совет
    С процедурой display)) допускается использовать опцию insequence, которая может иметь значение true или false (последнее является значением по умолчанию). Если insequence=false, то отображаются сра...
    На заметку
    В данном случае имя глобальной переменной (высота в условии задачи Н) совпадает : именем локальной, объявленной в процедуре Sys_display(), переменной. По большому /, поскольку и объявленная локальн...
    Совет
    М ожно поэкспериментировать с количеством внутренних окружностей, т.е. изменить диапазон изменения переменной i (при этом нужно изменить коэффициент 0.05 на 1/Nmax, Уде Nmax — верхняя граница диапа...
    Примечание
    Как отмечалось выше, отображаемые процедурой display!) объекты могут быть организованы в виде списка (массива) или множества. В данном случае это список (то есть последовательность отображаемых объ...
    Решение задачи
    Примечание
    В приведенной выше зависимости время отсчитывается от момента падения шарика на пружину! Как уже отмечалось ранее, зависимость высоты шарика от времени является "сшивкой" двух зависимостей: первая...
    Решение задачи
    Для большей конкретности зададим такие значения для параметров задачи котя это можно сделать и позже) — длина пружины будет равна 5 метрам....
    Решение задачи
    Толщина пружины будет составлять 20% от длины недеформированной ружины, т.е. 1 метр....
    Решение задачи
    Теперь задаем функциональную зависимость высоты шарика от времени. Зависимость запишем так, чтобы можно было определить положение шарика в произвольный момент времени. Полезными будут следующие ра...
    Решение задачи
    В теле процедуры используются две локальные переменные ТТ и j. В качестве значения переменной j присваивается остаток от целочисленного деления (irem()) результата выполнения операции trunc(t/(T+t...
    На заметку
    Результатом выполнения функция frac() является дробная часть ее аргумента. Таким образом, результат команды frac(t/(T+tO)) — остаток от вычитания из t целого числа полупериодов, но только в отношен...
    Решение задачи
    Локальные переменные ТТ и j определяются так же, как и в предыдущих случаях. Если шарик находится в свободном полете (TTtO), модуль скорости шарика равен д*ТТ, а знак определяется так: если в инте...
    На заметку
    В описанных выше процедурах при сравнении параметра ТТ с to использована команда evalf (). Сделано это на всякий случай — разница (TT-t0) преобразуется в формат числа с плавающей точкой, поскольку...
    Системы с колебаниями
    Часто приходится рассматривать механические системы, которые, будучи выведены из состояния равновесия, возвращаются к нему. Если при этом силы, возвращающие систему в состояние равновесия, прямо п...
    Задача 6.4
    Маятник состоит из жесткого стержня длины 1 и массы m на конце. К стержню прикреплены две пружины с жесткостью к на расстоянии а от точки подвеса. Найти частоты малых колебаний маятника. Массой ст...
    Решение задачи
    В процедуре предусмотрена возможность поворота всей описанной выше конструкции на один и тот же угол. Полученная в результате такого поворота структура будет присвоена в качестве значения переменн...
    Решение задачи
    Все события будут происходить в квадрате размером 1x1. Поэтому левая вертикальная стенка имеет длину 1 и получается из горизонтальной поворотом вокруг точки [0,0] на угол 90 градусов (Pi/2) против...
    Решение задачи
    Стержень создается процедурой 'plottools/line'O в виде линии приемлемой толщины (опция thickness=3), где первым параметром (начальная точка) указана точка [0.5,1] (стержень подвешен по центру карт...
    Решение задачи
    После инициализации переменной S в виде пустого списка, в этот список вносятся точки, формирующие пружину. Чтобы по базовым точкам сформировать пружину, используется процедура plot(). Теперь проце...
    На заметку
    Поскольку в условии задачи сказано, что шарик на стержне совершает малые колебания, можем полагать, что при отклонении стержня от вертикального положения обе пружины сжимаются вдоль горизонтальной...
    Решение задачи
    Результат выполнения процедуры S() формируется в виде последовательности. Наконец, создаем процедуру Picture() для формирования всей картинки. У этой процедуры будет всего один аргумент — угол alp...
    Решение задачи
    Картинка формируется процедурой 'plots/display'() с перечислением всех отображаемых объектов: трех стенок (переменная Wall), стержня и шарика (формируются командой С(L,alpha)), а также двух пружин...
    Решение задачи
    Примечание
    В приведенном выше описании конструкция Ekin:=alpha- означает, что оператору Ekin в зависимости от параметра alpha ставится в соответствие то, что находится после стрелки (-). После стрелки находит...
    Решение задачи
    На заметку
    Если пружина сжимается или разжимается на величину д: , то потенциальная энергия деформации пружины равна Е = кх 2/2, где к — жесткость пружины. Если расстояние от точки подвеса стержня до точки кр...
    Решение задачи
    Полная энергия системы является суммой кинетической энергии, энергии деформации пружин и потенциальной энергии шарика в поле силы тяжести....
    Решение задачи
    Следует заметить, что полная энергия Etot определена как переменная, а не как оператор. Как уже отмечалось, полная энергия системы (переменная Etot) при эволюции последней не меняется. Это значит,...
    Решение задачи
    Учитывая, что в задаче ищется нетривиальное решение, можно сократить полученное уравнение на производную....
    Решение задачи
    Полученное уравнение можно еще упростить, воспользовавшись тем, что колебания малые. А именно, синус в последнем слагаемом, в силу малости аргумента, разложим в ряд Тейлора в окрестности нуля и ос...
    Решение задачи
    Замена осуществляется с помощью процедуры subs(). В частности, указано, что в уравнении Eq_l выражение sin(alpha(t)) следует заменить на результат преобразования в полином (процедура convert () с...
    Решение задачи
    После этого полученное уравнение Eq_2 упрощаем, разделив правую и левую части на (ш*1Л2) и сгруппировав слагаемые при alpha(t)....
    Решение задачи
    Решить это дифференциальное уравнение особого труда не представляет....
    Решение задачи
    Переменные среды _С1 и _С2 определяются из начальных условий. Эти начальные условия можно было сразу указать в процедуре dsolve() еще при решении уравнения. Однако в данном случае поступим иначе....
    Решение задачи
    Соответственно, угловая скорость стержня определяется через производную по времени от переменной ехрг....
    Решение задачи
    Теперь временной переменной t присвоим начальное значение, т.е. 0. t:=0;...
    Решение задачи
    Если в начальный момент угол равен А, а скорость (угловая) равна v, то переменные С1 и _С2 можно найти как решение системы уравнений....
    Решение задачи
    После этого в переменной ехрг заменяем переменные среды _С1 и _С2 на полученные выше значения для них....
    Решение задачи
    Примечание
    Первым параметром процедуры subs() следует указать равенства, согласно которым выполняется замена в выражении, указанном вторым параметром. В данном случае первым параметром является переменная сре...
    Задача 6.5
    Тело массы М, соединенное с пружиной жесткости к, другой конец которой закреплен неподвижно, может двигаться без трения по горизонтальной плоскости. К телу прикреплен математический маятник массы...
    Решение задачи
    Примечание
    Появление сообщений с предупреждениями после подключения пакетов объясняется следующим образом. После подключения пакета, как известно, для вызова любой проце дуры из этого пакета необходимости ука...
    Решение задачи
    В Maple 9 сообщение будет таким: Error, (in arrow) expecting at least 5 arguments, but got 4 — (Ошибка, (в arrow) ожидается не меньше 5 аргументов, а их Л). Однако от этого мало что меняется. Прав...
    Решение задачи
    Параметр процедуры х задает горизонтальную координату центра симметрии бруска относительно граничной левой стенки. В этой процедуре используются две глобальные переменные Н и L, определяющие высот...
    Решение задачи
    Основная линия вертикальной стенки начинается в точке [0,0] и заканчивается в точке [0,Sft], т.е. имеет длину Sft — и этот объект в качестве значения присваивается локальной переменной А. Штрихи ф...
    На заметку
    Синтаксис вызова условного оператора выглядит следующим образом: while условие do опрератор_1 ... оператор_Я end do. Если выполняется условие, то последовательно выполняются операторы, размещенные...
    На заметку
    В данном примере координатная система не отображается. Поэтому, строго говоря, картинку можно было и не смещать. Используя последнюю описанную процедуру, можно отобразить внешний вид рассматриваемо...
    Решение задачи
    Теперь можно отобразить всю систему. Координату центральной точки бруска примем равной 0.5, а угол отклонения стержня — я/8....
    Примечание
    Процедурой wall_and_all() картинка формируется, но не отображается! Для ее отображения следует использовать процедуру display!) из пакета plots....
    Решение задачи
    На заметку
    Если выделить рисунок и из раскрывающегося меню выбрать подменю Axes (Оси), а затем одну из команд выбора системы координат (любая, кроме None (Отсутствуют): Boxed (В рамке), Frame (Точка пересечен...
    Решение задачи
    Для определения функции Лагранжа нужно задать кинетическую и потен циальную энергии системы. Кинетической энергией обладают движущийс: брусок и совершающий колебания шарик (стержень и пружину счит...
    Решение задачи
    Кинетическая энергия шарика определяется не так просто, поскольку з; кон его движения есть суперпозиция движения центра бруска и непосредс венно шарика относительно бруска — ведь колебания шарик с...
    На заметку
    Относительная линейная скорость колебательных движений шарика равна произведению угловой скорости шарика на длину стержня и направлена по касательной к описываемой шари ком траектории, т.е. перпенд...
    Решение задачи
    Кинетическая энергия системы Т() равна сумме кинетических энергий бруска и шарика и также является функцией трех параметров: скорости бруска v, угловой скорости шарика omega и угла phi отклонения...
    Решение задачи
    Далее определяем потенциальную энергию системы, которая имеет две составляющие: энергию сжатия пружины VI () и энергию шарика в поле тяжести V2(). Энергия деформации пружины определяется смещением...
    Решение задачи
    При отклонении стержня на угол phi приращение потенциальной энергии шарика, как известно, определяется следующим образом....
    Решение задачи
    Суммарная потенциальная энергия зависит как от смещения бруска х относительно положения равновесия, так и от угла отклонения стержня phi относительно вертикали....
    Решение задачи
    Теперь можно определить и функцию Лагранжа, которая, как уже упоминалось, равна разности кинетической и потенциальной энергий системы....
    Решение задачи
    Для дальнейшего анализа удобно присвоить выражение для функции Ла-гранжа системы в качестве значения переменной Lg. При этом обобщенными координатами являются смещение х бруска относительно положе...
    Решение задачи
    Чтобы по функции Лагранжа определить уравнения движения системы, необходимо вычислить частные производные от функции Лагранжа по каждой из ее переменных — всего четыре выражения. Каждое такое выра...
    Решение задачи
    Последнее уравнение можно существенно упростить....
    Решение задачи
    Полученную таким образом систему из двух дифференциальных ypaвний решить крайне проблематично, поэтому прибегнем к последующим рощениям....
    Решение задачи
    Упрощенную таким образом систему уравнений можно решить в общем виде. Ниже на этот случай приведена соответствующая команда. Результат ее выполнения, из которого можно определить частоты колебаний...
    Решение задачи
    Однако для определения частот систему дифференциальных уравнений можно и не решать. Для начала сделаем в уравнениях замену: вместо функции x(t) будем пользовать y(t), которая связана со старыми ко...
    Решение задачи
    Это уравнение неплохо было бы упростить. Из последнего уравнения, как нетрудно заметить, можно выразить у) отклонения. Сделаем это (команда solve(Eq2new,phi(t))), и полученное выражение для функци...
    Решение задачи
    Составим характеристическое уравнение. Поэтому в уравнении Eqn выполняем соответствующую замену, после чего уравнение сокращаем на экспоненту (еще умножаем на д) и упрощаем....
    Решение задачи
    Полученное уравнение определяет частоты собственных колебаний системы. Эти частоты (точнее, частоты в квадрате) можно найти....
    Решение задачи
    Чтобы нагляднее представить, как выглядит система в действии, создадим анимационную картинку. Но прежде присвоим параметрам, используемым в задаче, конкретные значения....
    Решение задачи
    Для отображения динамики системы во времени необходимо знать закон движения. Для этого решим исходную систему дифференциальных уравнений (Eql, Eq2). Решение будем искать в численном виде, для чего...
    Решение задачи
    Примечание
    Указывать индексы в последних двух командах следует крайне осторожно! От сеанса к сеансу решения системы дифференциальных уравнений выводятся в разной последовательности, поэтому приходится соответ...
    Решение задачи
    Момент времени последовательно, с шагом 0.1, изменяется от 0 до 2. Положение равновесия бруска взято равным 0.5, а чтобы было лучше ориеь тироваться в ситуации, отображается, кроме картинки, еще и...
    Решение задачи
    В данной главе для отображения анимации использовалась процедура dis-play(). В отличие от процедуры animate(), рассмотренной в предыдущей главе, процедура display!) более удобна в том смысле, что...
    Заключительные замечания
    Рассмотренные в данной главе темы служат не столько иллюстрацией методов решения физических задач, сколько являются примером того, как в Maple можно графически интерпретировать получаемые результа...
    Контрольные вопросы
    1.Какая структура определяется командой а|Ь|с: а) команда некорректна; б) вектор с компонентами а, Ь и с; в)последовательность с компонентами a, b и с; г)сразу три переменные: a, b и с. 2.Процедур...








Начало